:: GATE_2 semantic presentation
theorem Th1: :: GATE_2:1
for
s0,
s1,
s2,
s3,
s4,
s5,
s6,
s7,
ns0,
ns1,
ns2,
ns3,
ns4,
ns5,
ns6,
ns7,
q1,
q2,
q3,
nq1,
nq2,
nq3 being
set holds
not ( (
$ s0 implies
$ AND3 (NOT1 q3),
(NOT1 q2),
(NOT1 q1) ) & (
$ AND3 (NOT1 q3),
(NOT1 q2),
(NOT1 q1) implies
$ s0 ) & (
$ s1 implies
$ AND3 (NOT1 q3),
(NOT1 q2),
q1 ) & (
$ AND3 (NOT1 q3),
(NOT1 q2),
q1 implies
$ s1 ) & (
$ s2 implies
$ AND3 (NOT1 q3),
q2,
(NOT1 q1) ) & (
$ AND3 (NOT1 q3),
q2,
(NOT1 q1) implies
$ s2 ) & (
$ s3 implies
$ AND3 (NOT1 q3),
q2,
q1 ) & (
$ AND3 (NOT1 q3),
q2,
q1 implies
$ s3 ) & (
$ s4 implies
$ AND3 q3,
(NOT1 q2),
(NOT1 q1) ) & (
$ AND3 q3,
(NOT1 q2),
(NOT1 q1) implies
$ s4 ) & (
$ s5 implies
$ AND3 q3,
(NOT1 q2),
q1 ) & (
$ AND3 q3,
(NOT1 q2),
q1 implies
$ s5 ) & (
$ s6 implies
$ AND3 q3,
q2,
(NOT1 q1) ) & (
$ AND3 q3,
q2,
(NOT1 q1) implies
$ s6 ) & (
$ s7 implies
$ AND3 q3,
q2,
q1 ) & (
$ AND3 q3,
q2,
q1 implies
$ s7 ) & (
$ ns0 implies
$ AND3 (NOT1 nq3),
(NOT1 nq2),
(NOT1 nq1) ) & (
$ AND3 (NOT1 nq3),
(NOT1 nq2),
(NOT1 nq1) implies
$ ns0 ) & (
$ ns1 implies
$ AND3 (NOT1 nq3),
(NOT1 nq2),
nq1 ) & (
$ AND3 (NOT1 nq3),
(NOT1 nq2),
nq1 implies
$ ns1 ) & (
$ ns2 implies
$ AND3 (NOT1 nq3),
nq2,
(NOT1 nq1) ) & (
$ AND3 (NOT1 nq3),
nq2,
(NOT1 nq1) implies
$ ns2 ) & (
$ ns3 implies
$ AND3 (NOT1 nq3),
nq2,
nq1 ) & (
$ AND3 (NOT1 nq3),
nq2,
nq1 implies
$ ns3 ) & (
$ ns4 implies
$ AND3 nq3,
(NOT1 nq2),
(NOT1 nq1) ) & (
$ AND3 nq3,
(NOT1 nq2),
(NOT1 nq1) implies
$ ns4 ) & (
$ ns5 implies
$ AND3 nq3,
(NOT1 nq2),
nq1 ) & (
$ AND3 nq3,
(NOT1 nq2),
nq1 implies
$ ns5 ) & (
$ ns6 implies
$ AND3 nq3,
nq2,
(NOT1 nq1) ) & (
$ AND3 nq3,
nq2,
(NOT1 nq1) implies
$ ns6 ) & (
$ ns7 implies
$ AND3 nq3,
nq2,
nq1 ) & (
$ AND3 nq3,
nq2,
nq1 implies
$ ns7 ) & (
$ nq1 implies
$ NOT1 q1 ) & (
$ NOT1 q1 implies
$ nq1 ) & (
$ nq2 implies
$ XOR2 q1,
q2 ) & (
$ XOR2 q1,
q2 implies
$ nq2 ) & (
$ nq3 implies
$ OR2 (AND2 q3,(NOT1 q1)),
(AND2 q1,(XOR2 q2,q3)) ) & (
$ OR2 (AND2 q3,(NOT1 q1)),
(AND2 q1,(XOR2 q2,q3)) implies
$ nq3 ) & not ( (
$ ns1 implies
$ s0 ) & (
$ s0 implies
$ ns1 ) & (
$ ns2 implies
$ s1 ) & (
$ s1 implies
$ ns2 ) & (
$ ns3 implies
$ s2 ) & (
$ s2 implies
$ ns3 ) & (
$ ns4 implies
$ s3 ) & (
$ s3 implies
$ ns4 ) & (
$ ns5 implies
$ s4 ) & (
$ s4 implies
$ ns5 ) & (
$ ns6 implies
$ s5 ) & (
$ s5 implies
$ ns6 ) & (
$ ns7 implies
$ s6 ) & (
$ s6 implies
$ ns7 ) & (
$ ns0 implies
$ s7 ) & (
$ s7 implies
$ ns0 ) ) )
theorem Th2: :: GATE_2:2
for
a,
d,
b,
c being
set holds
(
$ AND3 (AND2 a,d),
(AND2 b,d),
(AND2 c,d) iff
$ AND2 (AND3 a,b,c),
d )
theorem Th3: :: GATE_2:3
for
a,
b,
c,
d being
set holds
( ( not
$ AND2 a,
b implies
$ OR2 (NOT1 a),
(NOT1 b) ) & (
$ OR2 (NOT1 a),
(NOT1 b) implies not
$ AND2 a,
b ) & (
$ OR2 a,
b &
$ OR2 c,
b implies
$ OR2 (AND2 a,c),
b ) & (
$ OR2 (AND2 a,c),
b implies (
$ OR2 a,
b &
$ OR2 c,
b ) ) & (
$ OR2 a,
b &
$ OR2 c,
b &
$ OR2 d,
b implies
$ OR2 (AND3 a,c,d),
b ) & (
$ OR2 (AND3 a,c,d),
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$ OR2 a,
b &
$ OR2 c,
b &
$ OR2 d,
b ) ) & not (
$ OR2 a,
b & (
$ a implies
$ c ) & (
$ c implies
$ a ) & not
$ OR2 c,
b ) )
theorem Th4: :: GATE_2:4
for
s0,
s1,
s2,
s3,
s4,
s5,
s6,
s7,
ns0,
ns1,
ns2,
ns3,
ns4,
ns5,
ns6,
ns7,
q1,
q2,
q3,
nq1,
nq2,
nq3,
R being
set holds
not ( (
$ s0 implies
$ AND3 (NOT1 q3),
(NOT1 q2),
(NOT1 q1) ) & (
$ AND3 (NOT1 q3),
(NOT1 q2),
(NOT1 q1) implies
$ s0 ) & (
$ s1 implies
$ AND3 (NOT1 q3),
(NOT1 q2),
q1 ) & (
$ AND3 (NOT1 q3),
(NOT1 q2),
q1 implies
$ s1 ) & (
$ s2 implies
$ AND3 (NOT1 q3),
q2,
(NOT1 q1) ) & (
$ AND3 (NOT1 q3),
q2,
(NOT1 q1) implies
$ s2 ) & (
$ s3 implies
$ AND3 (NOT1 q3),
q2,
q1 ) & (
$ AND3 (NOT1 q3),
q2,
q1 implies
$ s3 ) & (
$ s4 implies
$ AND3 q3,
(NOT1 q2),
(NOT1 q1) ) & (
$ AND3 q3,
(NOT1 q2),
(NOT1 q1) implies
$ s4 ) & (
$ s5 implies
$ AND3 q3,
(NOT1 q2),
q1 ) & (
$ AND3 q3,
(NOT1 q2),
q1 implies
$ s5 ) & (
$ s6 implies
$ AND3 q3,
q2,
(NOT1 q1) ) & (
$ AND3 q3,
q2,
(NOT1 q1) implies
$ s6 ) & (
$ s7 implies
$ AND3 q3,
q2,
q1 ) & (
$ AND3 q3,
q2,
q1 implies
$ s7 ) & (
$ ns0 implies
$ AND3 (NOT1 nq3),
(NOT1 nq2),
(NOT1 nq1) ) & (
$ AND3 (NOT1 nq3),
(NOT1 nq2),
(NOT1 nq1) implies
$ ns0 ) & (
$ ns1 implies
$ AND3 (NOT1 nq3),
(NOT1 nq2),
nq1 ) & (
$ AND3 (NOT1 nq3),
(NOT1 nq2),
nq1 implies
$ ns1 ) & (
$ ns2 implies
$ AND3 (NOT1 nq3),
nq2,
(NOT1 nq1) ) & (
$ AND3 (NOT1 nq3),
nq2,
(NOT1 nq1) implies
$ ns2 ) & (
$ ns3 implies
$ AND3 (NOT1 nq3),
nq2,
nq1 ) & (
$ AND3 (NOT1 nq3),
nq2,
nq1 implies
$ ns3 ) & (
$ ns4 implies
$ AND3 nq3,
(NOT1 nq2),
(NOT1 nq1) ) & (
$ AND3 nq3,
(NOT1 nq2),
(NOT1 nq1) implies
$ ns4 ) & (
$ ns5 implies
$ AND3 nq3,
(NOT1 nq2),
nq1 ) & (
$ AND3 nq3,
(NOT1 nq2),
nq1 implies
$ ns5 ) & (
$ ns6 implies
$ AND3 nq3,
nq2,
(NOT1 nq1) ) & (
$ AND3 nq3,
nq2,
(NOT1 nq1) implies
$ ns6 ) & (
$ ns7 implies
$ AND3 nq3,
nq2,
nq1 ) & (
$ AND3 nq3,
nq2,
nq1 implies
$ ns7 ) & (
$ nq1 implies
$ AND2 (NOT1 q1),
R ) & (
$ AND2 (NOT1 q1),
R implies
$ nq1 ) & (
$ nq2 implies
$ AND2 (XOR2 q1,q2),
R ) & (
$ AND2 (XOR2 q1,q2),
R implies
$ nq2 ) & (
$ nq3 implies
$ AND2 (OR2 (AND2 q3,(NOT1 q1)),(AND2 q1,(XOR2 q2,q3))),
R ) & (
$ AND2 (OR2 (AND2 q3,(NOT1 q1)),(AND2 q1,(XOR2 q2,q3))),
R implies
$ nq3 ) & not ( (
$ ns1 implies
$ AND2 s0,
R ) & (
$ AND2 s0,
R implies
$ ns1 ) & (
$ ns2 implies
$ AND2 s1,
R ) & (
$ AND2 s1,
R implies
$ ns2 ) & (
$ ns3 implies
$ AND2 s2,
R ) & (
$ AND2 s2,
R implies
$ ns3 ) & (
$ ns4 implies
$ AND2 s3,
R ) & (
$ AND2 s3,
R implies
$ ns4 ) & (
$ ns5 implies
$ AND2 s4,
R ) & (
$ AND2 s4,
R implies
$ ns5 ) & (
$ ns6 implies
$ AND2 s5,
R ) & (
$ AND2 s5,
R implies
$ ns6 ) & (
$ ns7 implies
$ AND2 s6,
R ) & (
$ AND2 s6,
R implies
$ ns7 ) & (
$ ns0 implies
$ OR2 s7,
(NOT1 R) ) & (
$ OR2 s7,
(NOT1 R) implies
$ ns0 ) ) )